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Anneau local

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal[1]. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.

Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • A est local ;
  • ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A[1] et coïncidera avec son radical de Jacobson) ;
  • ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre[2] ;
  • pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible[1],[2] ;
  • pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche[1],[2] ;
  • il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible[3].

Définitions

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Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de dans celui de .

Remarque : Pour certains auteurs[4], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

  • Pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, l'anneau ℤ/pnℤ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de p).
  • Plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local[5] (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
  • Les anneaux principaux locaux sont :
  • Plus généralement, tout anneau de valuation est local.
  • L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe Ck pour un entier naturel fixé k.

Constructions

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Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si P est un idéal premier de A, alors le localisé AP de A par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de P dans AP. L'exemple ℤ(p) ci-dessus est la localisation de ℤ en l'idéal premier pℤ.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Pour tout anneau local A et tout ensemble I, l'anneau A[[(Xi)i∈I]] des séries formelles en les Xi et à coefficients dans A est local (d'idéal maximal engendré par les Xi et l'idéal maximal de A).

Propriétés

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Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal[6].

Tout anneau intègre local et de Prüfer (en) est un anneau de valuation[7].

Dans un anneau local, les seuls idempotents sont 0 et 1[8].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers dans un anneau commutatif unitaire , alors le localisé est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des (on ne garde que les contenus dans aucun autre ).

Notes et références

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  1. a b c et d N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), chap. VIII, VIII.23.
  2. a b et c (en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS, , 3e éd. (1re éd. 1966) (lire en ligne), p. 75.
  3. (en) Huishi Li, An Introduction to Commutative Algebra: From the Viewpoint of Normalization, World Scientific, (lire en ligne), p. 67.
  4. (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, p. 13.
  5. (en) T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, coll. « GTM » (no 131), (lire en ligne), p. 296, (19.3) Proposition (a).
  6. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 21.
  7. (en) Eben Matlis, « Injective modules over Prüfer rings », Nagoya Mathematical Journal, vol. 15,‎ , p. 57-69 (DOI 10.1017/S002776300000667X), p. 58.
  8. Lam 1991, p. 295, (19.2) Proposition (c).

Article connexe

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Complétion (théorie des anneaux) (en)